$\frac{a^3-a^2-a+1}{a^3+a^2+a+1}=\frac{(a^3-a^2)-(a-1)}{(a^3+a^2)+(a+1)}=\frac{a^2(a-1)-(a-1)}{a^2(a+1)+(a+1)}=\frac{(a-1)(a^2-1)}{(a+1)(a^2+1)}=\frac{(a-1)(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2+1)}=\frac{(a-1{)}^2}{a^2+1}\ge 0$, так как:
$(a-1{)}^2\ge 0$, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным;
$a^2+1>0$, так как сумма двух положительных чисел всегда больше 0.
Ответ: не существует такого значения a, при котором дробь принимает отрицательное значение.